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Katok 1. T,h ;. Proposition 1. Exercice 2. Exercice 1.

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Compactification de Hi. Indication : , Theorem 1. Cocycles de Busemann et horocycles. Dans le chapitre VI exercice VI. Dans le cas i , on dit que g est hyperbolique. L'action de g sur son axe est par translation. On appelle point fixe attractif de g resp. On note gf resp. Enfin dans le cas iii , g est dit parabolique.

Groupes fuchsiens. Soient r un tel groupe et K un compact de IHI. Un domaine de Dirichlet est un domaine fondamental convexe de I?. Indication : [36, theorem 3. O Exemples 2. Indication : [6, Theorem 9. Exemples 2. Ensemble limite. Exercice 3. Proposition 3. O Exercice 3. Points horocycliques, coniques et paraboliques. On note Lh I' l'ensemble de ces points.

Soit y un point de m.

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On note ry le stabilisateur de y dans I?. Fixons un 4.


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Cette application est injective. Proposition 4. Corollaire 4. Soit x un point d e H co. En effet, soit E un tel ensemble, puisque E est invariant par I? Ce demi-plan contient 6 r.

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Exercice 4. Dans ce cas le groupe contient une translation non triviale t , et D, I? On note C' y l'intersection de D z r avec yDz l? Si tous les sommets de D z r sont dans W,ce domaine est un compact de W donc E, l'est aussi. Supposons que z ne soit pas parabolique. En conclusion, J: est parabolique. Ce demi-plan contient 6 r donc N r est inclus dans l'intersection des y P , avec y dans I?. Soit valentes : r un groupe fuchsien. Les horocycles p7La En conclusion, B est fini et donc les horodisques y Ht z yEr, ,.

Ceci montre que y est conique. La notion de cocycles de Busemann paragraphe 1. Dans un article de A. Patterson [46], [7, Chapter Dans le cas des groupes de Schottky et du groupe modulaire, nous construisons un codage de leur ensemble limite. Les ensembles D g et D g-' sont disjoints respectivement tangents si et seulement si g est hyperbolique respectivement parabolique exercice 1. Soit p un entier 3 2.


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Lemme 1. Dynamique des groupes de Schottky. Comme s2 s;', l'ensemble D s2 est inclus dans Ext O. Sinon, on a D si,,. Nous rencontrerons de tels groupes dans le paragraphe 3. De plus D S g l , g 2 est le domaine d e Dirichlet en O de ce groupe. Soit S I ,.

go site Les ensembles D s 1 et fi S g1,gz sont disjoints donc s1. Le groupe S g1. Soit z un tel point.

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Soit S g1 92 u n groupe de Schottky. Quelle est la nature topologique de L S g l , g 2? O Corollaire 1. Retrouver que L S g 1 , g z est un ensemble totalement discontinu ie. Indication : [12]. Soit s2 une telle suite. Indication : utiliser le corollaire 1. Cette application est-elle injective?

Premier cas : g1 et g 2 sont hyperboliques. Ceci montre que f est injective. Supposons que g1 soit parabolique. Le point?

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Donc g-' z s' g-' z s. Soit y dans L S g1, sa. Il existe d u rayon [O,x. Le groupe modulaire. Corollaire 3. Analysons les points paraboliques. Dans le premier exemple, ce domaine sera un domaine de Dirichlet. Ce ne sera pas le cas dans le second.